Question

不等式求证

(1+1/n)^n<=(1+1/(n+1))^(n+1)

Answer 1

函数y=(1+1/x)^x在（1，正无穷）上是增函数，如图

n<n+1,        (1+1/n)^n<=(1+1/(n+1))^(n+1)

Answer 2

因为均值不等式
(a1a2...an)^(1/n)≤(a1+a2+...+an)/n
2边n次方 得到 a1a2...an)≤[(a1+a2+...+an)/n]^n

等号成立 当且仅当 a1=a2=……=an成立
后面详细的看图片吧，图片上很详细，这里不好打格式

(1+1/n)^n=(1+1/n)^n * 1 = (1+1/n)(1+1/n)...(1+1/n)*1
< {1/(n+1)[(1+1/n)+……+(1+1/n)+1] }^(n+1)
={1/(n+1)[(1+1/n)*n+1] }^(n+1)
=[1+1/(n+1)]^(n+1)

Answer 3

f(x)=(1+1/x)^x,x>=1
g(x)=lnf(x)=xln(1+1/x)
g'(x)=ln(1+1/x)+x/(1+1/x)*(-1/x^2)
g'(x)=ln(1+1/x)+x/(1+1/x)*(-1/x^2)
g'(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
g'(x)=ln(1+x)-lnx-1/(1+x)

g''(x)=1/(1+x)-1/x-1/(1+x)^2
g''(x)=[(1+x)(x-1)+1]/[x(1+x)^2]
x>=1时，g''(x)>0
g'(x)是增函数
g'(x)=ln(1+x)-lnx-1/(1+x)>=ln(1+1)-ln1-1/(1+1)=ln2-1/2>0
g(x)是增函数
f(x)是增函数
(1+1/n)^n<=(1+1/(n+1))^(n+1)