Question

一道大一的高数

[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0
证：§f'(§)+f(§)=f'(§)

Answer 1

设F(x)=(x-1)f(x)，则F(0)=F(1)=0；
又因为F(x),[0,1] 连续(0,1)可导；

所以，存在§（in [0,1]），使得(dF/dx|x=§) = 0,
即：§f'(§)+f(§)=f'(§)

Answer 2

【（x-1)*f(x)】'=f(x)+（x-1）*f'(x) 由已知（0,1）可导，同理【（x-1)*f(x)】也在（0,1）可导
令F（x）=（x-1)*f(x) F(0)=-1*0=0=F（1）=0*f(1) 由罗尔定理知：在（0,1），存在§，使F'（x）=0 所以f(x)+（x-1）*f'(x)=0， 故得证