Question

已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx(a>0).

已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx(a>0).
若函数f(x)有三个零点分别为x1,x2,x3,且x1+x2+x3=-3,x1x2=-9,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,证明:函数f(x)在区间(0,2)内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数f(x)的两个极值点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围.

Answer 1

（1）因为函数f(x)=1 3 ax3+1 2 bx2+cx=x（1 3 ax2+1 2 bx+c）（a＞0），又x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，则x3=0，x1+x2=-3，x1x2=-9（1分）
因为x1，x2是方程1 3 ax2+1 2 bx+c=0的两根，
则-3b 2a =-3，3c a =-9，得b a =2，c a =-3，（3分）
所以f′(x)=ax2+bx+c=a(x2+b a x+c a )=a（x2+2x-3）=a（x-1）（x+3）．
令 f′（x）=0 解得：x=1，x=-3
故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）． （5分）
（2）因为 f′（x）=ax2+bx+c，f′(1)=-1 2 a，，所以a+b+c=-1 2 a，即3a+2b+2c=0．
又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）
于是f′(1)=-1 2 a＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）
①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，f′(1)=-1 2 a＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，
f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m； （9分）
②当c≤0时，因为f′(1)=-1 2 a＜0，f′（2）=a-c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．
综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点． （10分）
（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得
3a+2b+2c=0，则m+n=-b a ，mn=c a =-3 2 - b a ．所以|m-n|= (m+n)2-4mn = (-b a )2-4( -3 2 -b a ) = (b a +2)2+2
由已知， (b a +2)2+2 ≥ 3 ，则两边平方(b a +2)2+2≥3，得出b a +2≥1，或b a +2≤-1，即b a ≥-1，或b a ≤-3
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-3 4 a．
因为a＞0，所以-3＜b a ＜-3 4 ．
综上分析，b a 的取值范围是[-1，-3 4 ）．

Answer 2

解：F(X)=x（a/3x^2+b/2x+c) 因为有3个零点
又因为x1x2=-9 所以x1=0
所以x2+x3=-3
根据韦达定理 x1加x2等于-（1/2）除以a/3 x1x2=c除以a/3
所以a=1/2 c=-54
接下来就用导数求就可以了

Answer 3

有一定难度的。

Answer 4

111

Answer 5

不会。。