Question

二次函数的题目

已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图像交x轴于A（x1,0), B(x2,0)，交y轴正半轴于点C，x1的平方+x2的平方=10

是否存在过点D（0,-5/2）的直线与抛物线交于点M,N，与X轴交于点E，使得M,N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由

如何求二次函数上一点关于一次函数的对称点？

最好解释原理，给公式。满足条件者加分

Answer 1

由题意，y=x²-(m+1)x+m=(x-m)(x-1)
它与y轴交于正半轴，代入x=0于二次函数则y>0，所以m>0，且x1²+x2²=10
由函数的因式分解可知x1,x2分别为m和1，所以1+m²=10--->m=±3(-3不合题意，舍去)
所以m=3
所以二次函数为y=x²-4x+3
设直线方程为y+5/2=kx(点斜式)--->y=kx-(5/2)
当k=0时，直线与二次函数的对称轴x=(1+3)/2=2平行，所以它仅交于一点，所以不成立。
因为k≠0，则直线与x轴的交点为E(5/2k,0);
设M点坐标为(x3,y3),N点坐标为(x4,y4),由于M,N点关于E点对称。
则有x3+x4=2*5/2k=5/k
y3+y4=0
则将y=kx-5/2代入二次函数，可得交点。
kx-5/2=x²-4x+3
--->x²-(4+k)x+11/2=0
有两个不同的交点，则有：△>0
---->(4+k)²-4*11/2>0---->k²+8k-6>0
---->k>-4+√22或k<-4-√22
则x²-(4+k)x+11/2=0的解即为M点和N点的横坐标。
所以x3+x4=4+k
所以有4+k=5/k--->k²+4k-5=0--->(k+5)(k-1)=0
--->k=-5或k=1
根据上面k的不等式可以舍去k=-5(k<-4-√22)
所以k=1
所以直线方程为：y=x-5/2
即MN的直线方程为y=x-5/2

要求函数上关于直线对称归根到底是关于点对称。
连接关于直线对称的点，则它必垂直于这条直线，且它们的交点即它们的对称点。
关于点(x0,y0)对称的两点(x1,y1),(x2,y2)满足这样的关系式：
x1+x2=2x0
y1+y2=2y0
根据这些一步一步的求即可。