Question

抛物线x^2=8y的焦点为F，AB是抛物线上的两动点，向量AF=向量λFB(λ>0)过AB两点分别作抛物线的切线，设...

抛物线x^2=8y的焦点为F，AB是抛物线上的两动点，向量AF=向量λFB(λ>0)过AB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明：线段FM被x轴平分（2）计算向量FM·向量AB的值（3）求证：|FM|^2=|FA|·|FB|

Answer 1

【注：该题需用参数法】【注：该题需用参数法】解：抛物线x²=8y.焦点F(0,2),可设点A(4a,2a²),B(4b,2b²),(a≠b),由条件“向量AF=λFB(λ＞0)”可知，三点A,F,B共线，∴ab=-1.由导数可求得过A,B两点的切线方程分别为La:y=ax-2a²,Lb:y=bx-2b².联立两切线方程得点M(2a+2b,-2).（一）由“中点坐标公式”可得线段FM的中点坐标为(a+b,0),易知，该中点在x轴上，故线段FM被x轴平分。（二）易知,向量FM·AB=(2a+2b,-4)·(4b-4a,2b²-2a²)=0.(三）由抛物线的定义可知，|FA|=2+2a²,|FB|=2+2b².∴|FA|×|FB|=4(a²b²+a²+b²+1)=4(a²+b²+2).再由“两点间距离公式”得:|FM|²=4(a+b)²+16=4[a²+b²-2+4]=4(a²+b²+2).∴|FM|²=|FA|×|FB|.

Answer 2

解:F(0,2),设A(x1,x1^2/8),B(x2,x2^2/8)写出向量AF和BF,解得x1x2=-16,由导数知两切线方程解得M((x1+x2)/2,-2)可得线段FM被x轴平分.2）向量FM•向量AB=0,3)由定义|FA|=x1^2/8+2,|FB|=x2^2/8 +2,得:|FM|^2=|FA|·|FB|