Question

求f(x)=-cos^2x-sinx+3的值域

Answer 1

f(x)=-cos^2x-sinx+3
=-(1-sin^2x)-sinx+3
=sin^2x-sinx+2
=(sinx-1/2)^2+7/4
∵sinx∈[-1,1]
∴(sinx-1/2)^2∈[0,9/4]
∴(sinx-1/2)^2+7/4∈[7/4,4]
值域为[7/4,4]

Answer 2

f(x)=-cos^2x-sinx+3
=-(1-sin^2x)-sinx+3
=sin^2x-sinx+4
令t=sinx t属于(-1,1)
即f(x)=t^2-t+4
f'(x)=2t-1
f'(x)=0时 t=1/2
f'(x)>0时 t>1/2
f'(x)<0时 t<1/2

可知f(x)在(-1,1/2]上单调递减
在(1/2,1)上单调递增
故Min一定是t=1/2时
Max不是t=1时 就是t=-1时
f(min)=15/4
f(-1)=6
f(1)=4
f(-1)>f(1)
故f(x)的值域为(15/4,6)

Answer 3

f(x)=-cos^2x-sinx+3=sin^2x-sinx+2
二次函数的对称轴是1/2
所以最小值是sinx=1/2时，f(x)=2-1/4=7/4

最大值是sinx=-1时，f(x)=4