Question

有关函数凹凸区间与拐点问题 y=(x-2)^5/3

y的二阶导为4/9*(x-2)^5/3 得x=2为 f(x)的二阶导不存在的点，这道题的正确答案为：拐点是（2,0）凸区间（-∞,2），凹区间（2,+∞)，但是我不明白为什么（-∞,2）为凸区间，它在此区间都没有定义，即不能判断正负，又怎么知道他是负值即为凸的呢？希望懂的朋友解释一下，最好能像书上列个表，谢谢了

Answer 1

拐点在二阶导数等于0的点或二阶导数不存在的点上产生
y=(x-2)^5/3的二阶导数为：y''=10/9*(x-2)^(-1/3)
在（-∞,2），y''<0,为凸区间
在（2,+∞)，y''>0,为凹区间
（2,0）即为拐点
注：函数在实数R上都有定义

Answer 2

y=(x-2)^5/3
y'=(5/3)(x-2)^(2/3),
y''=(10/9)(x-2)^(-1/3),
x<2时y''<0;x>2时y''>0,
x=2时y=2,
∴点(2,0)是函数图像的拐点。凸区间是（-∞,2），凹区间是（2,+∞)。用二阶导数的符号判断凹凸。