Question

【50分】一道概率论的随机变量方面的题目，要过程哦，见图

Answer 1

ξ=∑x(1-->n),η=∑x(m+1-->m+n),Ex=a,Dx=o^2,Eξ=Eη=na,Dξ=Dη=nDx
由定义cov(ξ,η)=E[(ξ-na)(η-na)]=E(ξη)-(na)^2
E(ξη)=E[(x1+x2+...xn)(xm+1+xm+2+...xm+n)]
由相互独立有cov(xi,xj)=E(xi-a)(xj-a)=E(xixj)-a^2=0-->E(xixj)=a^2
而E(xixi)=E(x^2)=Dx+(Ex)^2=a^2+o^2
因为E(ξη)的乘积项中有n-m个元素相同，所以
E(ξη)=[n^2-(n-m)]a^2+(n-m)(a^2+o^2)-->cov(ξ,η)=(n-m)O^2
相关系数Rξη=cov(ξ,η)/(DξDη)(1/2)=(n-m)O^2/no^2=(n-m)/n

Answer 2

1.根据协方差的性质cov（X1+X2,Y）=cov(X1+Y)+cov(X2+Y),将原式分解为n*m对cov（），又根据相互独立时协方差0，则只有其中的（n-m）项是不为0，这n-m项是对同一随即变量之间的协方差即等于方差，ls的结果正确。
2.按照相关系数的定义和随机变量相加时方差的变化法则，可直接计算
之前没有仔细分析n和m的关系..