Question

在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E

（1）如图①，若B,C在DE的同侧，且AD=CE，求证：AB⊥AC (2)如图②，若B，C在DE的两侧，其它条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明，若不垂直，请说明理由

Answer 1

①证明：

∵BD⊥DE，CE⊥DE

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵AB=AC，AD=CE

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（HL）

∴∠DAB=∠ECA

∵∠EAC+∠ECA=90°

∴∠EAC+∠DAB=90°

∴∠BAC=180°-（∠EAC+∠DAB）=90°

∴AB⊥AC

②成立

证明：

∵BD⊥DE，CE⊥DE

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵AB=AC，AD=CE

∴Rt△BDA≌Rt△AEC（HL）

∴∠BAD=∠ACE

∵∠EAC+∠ACE=90°

∴∠EAC+∠BAD=90°

即∠BAC=180°

∴AB⊥AC