Question

高数附图，关于全微分定义的引例推导。

Answer 1

因为Lim（p→0时）(◇x◇y)/p=0。

追问

我这里极限有点不懂，分母为零怎么求？

追答

是用极限的定义证明，如下：
因为(|◇x|-|◇y|)^2》0，
所以|◇x◇y|《(◇x◇x+◇y◇y)/2
于是|◇x◇y/p|《p/2
故当p→0时，有(◇x◇y/p)→0。

追问

也就是那段≤0，极限就是0，也就是高阶无穷小是吧？

追答

首先，没有哪一段≤0。
而是，当p→0时，p/2可以任意小，所以那个极限为0。
其次，那个极限为0，就说明◇x◇y是比p高阶的无穷小。
看看极限的定义以及高阶无穷小的定义就会明白了。

追问

噢，这样，懂了，谢啦