Question

怎样证一道超难的圆锥曲线证明题

椭圆C：x²/m+y²/n=1，圆O：x²+y²=m+n ，p是圆O上的一个动点，过点p作直线L1，L2，使得L1，L2与椭圆C只有一个交点，且L1，L2分别交圆O于点M，N
求证：MN的长度为定值

Answer 1

思路：有题知MN的长度若为定值，即MN为圆的直径，则L1⊥L2。
解：设P（x0, y0），过P且斜率为k的直线方程为y=k(x-x0)+y0，代入椭圆方程，结合P在圆上得（n+mk^2）x^2+x(2mky0-2mk^2x0)+mk^2(x0)^2+m(y0)^2-2mky0x0-mn=0，由于直线与椭圆只有一个交点，判别式=0，即k1k2=-1.则L1⊥L2，MN为圆的直径，长度为定值。