Question

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在△ABC中,BF为∠B的平分线,CE为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
不能反证法

Answer 1

证明:(用反证法)假设AB≠AC,那么必有AB>AC或AB<AC.
若AB>AC,则∠ACB>∠ABC.于是,有∠FCB>∠FBE.
在∠FCB内作∠ECG=∠FBE,CG交BF于点G,则B,C,G,E四点共圆,BG,CE是此圆的两条弦.
又易知90°>∠BCG>∠CBE>0°,所以,劣弧BG>劣弧CE,从而有BG>CE.而BG<BF,所以,有
CE<BF.这与已知条件CE=BF矛盾.故AB>AC不成立.
类似可证,AB<AC也不成立.
所以,AB≠AC不成立.
因此,AB=AC必成立.