Question

设f为区间[a,b]处处可导函数,证明其导函数f'可测

实变函数 谢谢大神了！快速答题加悬赏

Answer 1

任给 t, A_n( t) = {x| f(x+1/n) - f(x) < t/n} 可测， n=1,2,3,....
B_n(t) = A_n(t) 交 A_(n+1) (t) 交 A_(n+2) (t) 交 ..., 可测。
C(t)= B_1（t) 并 B_2(t) 并 .... 可测
C（t) = {x| f'(x) < t} ==> f' 可测

Answer 2

因为f'是递增函数，当x
x0时，有f'(x)>=f(x0+0)，
也就是f'(x)的函数值或者<=f'(x0-0)，
或者>=f'(x0+0)，因此介于f'(x0-0)和f'(x0+0)之间的数都不是f'(x)的函数值。
当然，这里面前提是假设f'(x0-0)

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