Question

过点P（2,1）作直线L，分别交X轴，Y轴的正半轴于A，B两点，当三角形AOB的面积最小时，求直线L的方程

Answer 1

设A(a,0),B(0,b) 其中 a>0,b>0 则直线L的方程为 x/a + y/b=1
因为直线L过点P（2,1）所以 2/a+1/b=1
三角形面积S=1/2 * a * b 通过不等式关系可知当2/a=1/b 时面积最小
可以算出 a=4,b=2 带入得直线L方程 x+2y-4=0

Answer 2

设直线L方程为y=kx+b，且直线L过点P（2,1），则有1=2k+b
由题意可知b>0，k<0
三角形AOB的面积=1/2*|b/k||b|=1/2*|(1-2k)/k||1-2k|=4|k|+1/|k|-4
当4|k|=1/|k|时,三角形AOB的面积最小,得知k=-1/2,b=2

Answer 3

此条直线方程可设为:Y-1=m(x-2),即直线必过定点P(2,1).
当X=0时,Y=1-2m,(m<0)
当Y=0,X=2-1/m=(2m-1)/m.
S三角形AOB的面积=1/2*(1-2m)*(2m-1)/m
=-1/2(4m^2-4m+1)/m
=2-1/2(4m+1/m),
要使S最小,4m+1/m就必须最大,
因为m<0,则-m>0,就有
(-4m)+(-1/m)≥2*√[(-4m)*(-1/m)]=2*2=4,当且仅当(-4m)=(-1/m)时,取等号,即-4m=-1/m,|m|=1/2,(m<0),
m=-1/2.
则直线L的方程为Y=-1/2X+2.