Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1

求（1）f(1)；（2）若f(x)+f(x-8)≤2，求x的取值范围。

Answer 1

（1）
f(xy)=f(x)+f(y)
将x=3,y=1带入
f(3)=f(3)+f(1)
f(1)=0

（2）
f(x)+f(x-8)=f(x^2-8x)
由于f(x)在(0,+∞)上单增，所以
2=f(3)+f(3)=f(9)
即
f(x^2-8x)≤f(9)
同样由于f(x)在(0,+∞)上单增，
x^2-8x≤9
(x-9)(x+1)≤0
-1≤x≤9
因为f(x)是定义在(0,+∞)上的，所以
0<x≤9

Answer 2

f(3)=f(3*1)=f(3)+f(1)=1;所以f(1)=0；
f(x)+f(x-8)=f(x*(x-8)),注意到f(9)=2,
所以有：x^2-8x≤9,结合X的定义域得到：
8≤X≤9