Question

高等数学 函数的最值

1、将数8分成两个数之和，使其平方之和为最小
2、要制作一个底面积为长方形的带盖的箱子，底边长成1:2关系，体积为72立方单位，向各边长为多少时，才能使表面积所用材料最省？

过程要详细！！！追加20分！！！

Answer 1

答：
1.
设一个数是x，则另一个数为8-x。设y为其平方和，则：
y=x²+(8-x)²=2x²-16x+64
y'=4x-16。当y'=0时，解得x=4。此时为极小值。y=32
所以将8分成4和4时，他们平方和最小，为32。
2.
设底宽为x，则长为2x，高为72/(x*2x)=36/x²，用料为y，得：
y=2[(x*2x)+x*36/x²+2x*36/x²]=4x²+216/x
y'=8x-216/x²
当y'=0时，8x-216/x²=0即x³=27。解得x=3
所以宽为3，长为3*2=6，高为72/(3*6)=4。
长宽高分别为6，3，4单位时，表面积用料最省，为108平方单位。

Answer 2

1.设两数为X和8-X
则Y=X²+（8-X）²=2(X²-8X+32)=2(X-4)²+32
当X=4时平方之和为最小
2.设底面长、宽分别为2m、m
则高为72/（2m*m）=36/m²
长方体表面积Y=2（2m*m+2m*36/m²+m*36/m²）
=108/m+2m² 求最值即可

Answer 3

1、已知x+y=8
令z=x^2+y^2=x^2+(8-x)^2=64-16x+2x^2
=32+2(x^2+8x+16)=32+2(x-4)^2
当x=4时，z最小且最小值为32
2、设底面长、宽分别为2m、m
则高为72/（2m*m）=36/m²
长方体表面积Y=2（2m*m+2m*36/m²+m*36/m²）
=108/m+2m² 求最值即可