Question

高中数学选修2-1椭圆的题目（要有详细的过程啊）

1、过点P（2,1）的直线L与椭圆X^2/2 +y^2=1相交。求L被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。2、直线y=kx+1与椭圆x^2/5 + y^2/m =1总有共交点，则m的取值范围是多少？

Answer 1

1.设直线和椭圆的两焦点坐标是A(x1,y1) B(x2,y2) AB中点为M(x,y)椭圆方程为 X^2 +2y^2=2代入A(x1,y1)得 X1^2 +2y1^2=2 一式代入B(x2,y2)得 X2^2 +2y2^2=2 二式一式-二式得（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0M(x,y)为AB中点所以 x=（x1+x2）/2 y=（y1-y2）/2所以（x1-x2）2x+2（y1-y2）2y=0变型得k=（y1-y2）/（x1-x2）=-x/y用M P 两点求斜率得 k=(y-1)/(x-2)所以 (y-1)/(x-2)=-x/y化简得x^2+2y^2-2x-2y=0 2.直线y=kx+1中代入x=0 得y=1 所以直线过点（0,1） 只要（0,1）在椭圆内或在椭圆上 那么直线和椭圆就一定有公共点 所以 0^2/5 + 1^2/m <=1 解得m>=1 或m<0(舍去 此时不是椭圆了) 所以 m>=1

Answer 2

设直线斜率为k,直线与椭圆六点为A（x1，y2）.B(x1,y2)，中点为(x,y)。则直线方程为：y=(x-2)+1.代入椭圆方程得：（1+2k2)*x2+(2k-4k2)x+8k2-8k=0。 则x=(x1+x2)/2=(8k2-4k)/(1+2k2) y=(x1+x2)/2= (4k2-8k+2)/(1+2k2) 消掉k就可以得答案了