Question

初二数学证明题 帮帮咱、、、

如图四边形ABCD是正方形 ABE是等边三角形，M为对角线BD上一点（不含B点) 将BM绕点逆时针旋转60°得到BN 连接EN、AM、 CN。
（1）求证△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时 AM+CN的值最小
②当M点在何处时 AM+BM+CM的值最小， 并说明理由

注：帮帮咱。。会几道做几道 ，

Answer 1

（1）证明：
∵△ABE是等边三角形
∴EB=AB,∠ABE=60°
∠NBM=60°
∠ABE-∠ABN=∠NBM-∠ABN
即∠EBN=∠ABM
∵BN=BM
∴△AMB≌△ENB（SAS）

(2)由（1）知△AMB≌△ENB
求AM+CN的最小值即是求EN+CN的最小值
EN+CN最小值为EC的长
此时△BMN为等边三角形
∠BCM=60°-∠DBC=60°-45°=15°
M在线段BD上且在C点西北15°方向上

（3）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
证明：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵MB＝NB，∠MBN＝60°
∴△BMN是等边三角形
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
得EN＋MN＋CM＝EC最短（两点之间线段最短）
∠BCM=60°-∠DBC=60°-45°=15°
M在线段BD上且在C点西北15°方向上

（2）和（3）怎么一样了，楼主题目没问题吧 若第（2）问中问AM+CM最小值时M的位置，M是BD的中点

Answer 2

因为正方形ABCD，所以角ABM=45度。因为角MBN=60度，所以角NBA=15度。
在正三角形ABE中，,所以BE=AB,因为角ABE=60度，所以角EBN=45度，即角EBN=角ABM=45度.因为BM旋转后到BN，所以BM=BN.
因为BM=BN,BA=BE,角ABM=角EBN，所以△AMB≌△ENB（SAS）