Question

高数无穷小问题

Answer 1

1、1/8阶
因为先看最里面的根号，x+√x当x趋于零时，阶数为√x,即x^(1/2),
这是因为当x趋于零时，x比√x趋于0的速度更快，x是√x的高阶无穷小
所以√（x+√(x+√x)）和√（x+√(√x)）是同阶的
同理√（x+√(√x)）=√（x+x^(1/4)）和√(x^(1/4))是同阶的
即原式和x^(1/8)是同阶的

2、
√(x+1)-√(1-x)
做泰勒展开
√(x+1)=(1+x)^(1/2)=1+1/2x+[1/2*(1/2-1)/2]x^2+……
√(1-x)=(1+(-x))^(1/2)=1-1/2x+[1/2*(1/2-1)/2]x^2+……
所以√(x+1)-√(1-x)=2x+……
即√(x+1)-√(1-x)是1阶无穷小