Question

如图，圆O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交圆O于D，点M为△ABC的内心。（1）

求证：BC=根2DM。
(2)若AB=8，AC=6,求AD的长

Answer 1

1、∵∠BAD=∠DAC，∴弧BD=DC，弦BD=DC，
又∵BC是直径，∴△BDC是等腰直角三角形，BC=√2*DC。
连接MC、在△DMC中，∠BAC=90°，
∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+∠ACB/2；
∠DMC=∠DAC+∠ACM=45°+∠ACB/2=∠DCM，
∴DM=DC，由前得BC=√2*DC=√2*DM。
2、∵DM=5倍根号2，AB=8，
∴BC=√2×5√2=10，AC=√(10²-8²)=6，
内切圆半径r=(6+8-10)/2=2，
设N点是⊙M与BC边的切点，连接MN，可求得
BN=(8+10-6)/2=6，ON=6-10/2=1，
在rt△ONM中，OM=√（1²+2²）=√5。