Question

求解！！函数项级数的一致收敛性！！

望大神能写出详细过程，拍个照片发上来，谢啦！

Answer 1

lim n->∞ (x+n)^n=lim n->∞( n^n)* (1+x/n)^n=lim n->∞(n^n)* [(1+1/(n/x))^(n/x]^x
=lim n->∞(n^n) e^x
lim n->∞(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))=lim n->∞(-1)^n e^x /n
=e^x lim n->∞ (-1)^n/n
∑(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))=e^x ∑ (-1)^n/n
∑ (-1)^n/n收敛(alternating test ,交变试验方法)
∑(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))一致收敛
2.
(1-(1/x))^-2=1+2*(1/x)+3(1/x)^2+4(1/x)^3+...
(1/x)*(1-(1/x))^-2=1/x+2*(1/x)^2+3(1/x)^3+4(1/x)^4+...
1+(1/x)*(1-(1/x))^-2=1+1/x+2*(1/x)^2+3(1/x)^3+4(1/x)^4+...
=∑n/x^n一致收敛 (|x|
∴∑n/x^n=1+x/(x-1)^2一致收敛 (∵|x|>1)

Answer 2

(1) 每项趋于 [(-1)^n](1/n)(e^x)
是一致收敛的。
(2) x/[(x-1)^2]

追问

能详细点么，他们是收敛，我想知道具体过程，麻烦能不能写下呢，谢啦。

追答

(1)
lim n->∞ (x+n)^n=lim n->∞( n^n)* (1+x/n)^n=lim n->∞(n^n)* [(1+1/(n/x))^(n/x]^x
=lim n->∞(n^n) e^x
lim n->∞(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))=lim n->∞(-1)^n e^x /n
=e^x lim n->∞ (-1)^n/n
∑(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))=e^x ∑ (-1)^n/n
∑ (-1)^n/n收敛
∑(-1)^n(x+n)^n/(n^(n+1))一致收敛

(2)
(1-(1/x))^-2=1+2*(1/x)+3(1/x)^2+4(1/x)^3+...
(1/x)*(1-(1/x))^-2=1/x+2*(1/x)^2+3(1/x)^3+4(1/x)^4+...
1+(1/x)*(1-(1/x))^-2=1+1/x+2*(1/x)^2+3(1/x)^3+4(1/x)^4+...
=∑n/x^n一致收敛 (|x|
∴∑n/x^n=1+x/(x-1)^2一致收敛 (∵|x|>1)