Question

高中排列组合的证明题

a已经做出来，b和c咋做？

Answer 1

用到二项式定理：(a+b)^n=∑{r=0,n}C(n,r)*a^r*b^(n-r) ①
因此2^n=(1+1)^n=∑{r=0,n}C(n,r) 　　　　
由a可知,当n≥1时，r*C(n,r)=n*C(n-1,r-1) ②

b. C(n,1)+ 2*C(n,2)+ 3*C(n,3)+... +n*C(n,n)
=∑{r=1,n}r*C(n,r)
=∑{r=1,n}n*C(n-1,r-1) 由②
=n*∑{r=1,n}C(n-1,r-1)
=n*∑{r=0,n-1}C(n-1,r)
=n*2^(n-1)

c. ∑{r=0,n}Pr=∑{r=0,n}C(n,r)*p^r*(1-p)^(n-r)
=[p+(1-p)]^n 由①
=1
∑{r=1,n}r*Pr=∑{r=1,n}r*C(n,r)*p^r*(1-p)^(n-r)
=n*∑{r=1,n}C(n-1,r-1)*p^r*(1-p)^(n-r) 由②
=n*∑{r=0,n-1}C(n-1,r)*p^(r+1)*(1-p)^[n-(r+1)]
=n*p*∑{r=0,n-1}C(n-1,r)*p^r*(1-p)^[(n-1)-r]
=n*p*[p+(1-p)]^(n-1) 由①
=n*p

追问

可是b里面并没有让我用 ∑啊……应该是叫我用a的东西

追答

∑是求和符号，我只是把分开求和写在一起了．
例如1+2+3+..+n可以写成∑{r=1,n)r
因此C(n,1)+ 2*C(n,2)+ 3*C(n,3)+... +n*C(n,n)可以写成∑{r=1,n}r*C(n,r)
根据a的结论，有
C(n,1)+ 2*C(n,2)+ 3*C(n,3)+... +n*C(n,n)
=n*C(n-1,0)+n*C(n-1,1)+n*C(n-1,2)+... +n*C(n-1,n-1)
而上式可以写成∑{r=1,n}n*C(n-1,r-1) (b题的第二个等号)
以下同，你如果对求和符号不熟悉，分开写即可