Question

如图,已知抛物线的对称轴是直线x=4,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A、C点的坐标分别是(2,0)、(

如图,已知Rt△ABC, ∠ACB=90°,AC=BC=1,点P在斜边AB上移动(点P不与点A、B重合),以点P为顶点作∠CPQ=45°,射线PQ交BC边与点Q,BQ=0.5, 试求AP的长.

2。如图,已知抛物线的对称轴是直线x=4,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A、C点的坐标分别是(2,0)、(0,3)
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上有一点P,满足∠PBC=90°,求点P的坐标.
3。如图,已知Rt△ABC, ∠ACB=90°,AC=BC=1,点P在斜边AB上移动(点P不与点A、B重合),以点P为顶点作∠CPQ=45°,射线PQ交BC边与点Q,△CPQ能否是等腰三角形?如果能够,试求出AP的长,如果不能,试说明理由．

4。如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y 轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.
(1)求顶点D的坐标(用a表示)
(2)求抛物线的解析式
(3)求四边形BOCD的面积
快点啊，我只有这么一点悬赏分。帮帮忙！！

Answer 1

第一题
∵∠BPC是△APC的外角
∴∠BPC＝∠A＋∠ACP
∵∠BPC＝∠CPQ＋∠BPQ ∠CPQ＝∠A＝45°
∴∠ACP＝∠BPQ
∴△APC∽△BQP AP/BQ＝AC/BP AP/ BQ＝AC/（√2－AP）
解得（√2AP－1）^2＝1 即AP＝√2/2

第二题
设抛物线方程 y＝ax^2＋bx＋3，由抛物线过点A（2,0），
则4a＋2b＝-3 由抛物线对称轴x=4，则-b/2a=4，b=-8a代入得
a =1/4，b=-2 即抛物线方程y=（1/4）x^2－2x＋3

第三题
△CPQ可以是等腰三角形，分三种情况：
（1）设∠CPQ=∠PCQ=45°，PQ=CQ， 则∠ACP=45°，CP是∠ACB的角平分线，由于△ABC是等腰三角形，∠ACB是顶角，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得CP是斜边AB的中线，则AP=1/2AB=√2/2
（2）设∠CPQ=∠CQP=45°，PC=CQ，则 ∠PCQ=90°，则点P和点A重合，不合题意，舍去
（3）设 ∠PQC=∠PCQ=67.5° ，PQ=PC，设CQ＝2x，过点P作直线PD垂直
BC交BC于点D，则CD＝DQ＝x，过点P作PE垂直AC交AC于点E，
则AE＝PE=CD=x，PQ^2=PC^2=x^2+(1-x)^2，则在△CPQ中，由三角形余弦定理，
cos∠CPQ=(CP^2+PQ^2-CQ^2)/2PC?PQ
则（2（x^2+(1-x)^2）-（2x）^2）/(2（x^2+(1-x)^2））=cos45°=√2/2
解得（√2x+1)(2x+√2-2)=0 得x=-√2/2(舍去) 或 x=(2-√2)/2
即CD=PE=(2-√2)/2，由勾股定理，得AP=√2-1

第四题
（1）由题意，设抛物线方程 y＝a（x＋1）（x－3）＝a（x－1）^2＝4a，
则顶点D（1，－4a）
（2）由题意，点C（0，-3a），BC^2＝BO^2＋CO^2=9＋9（a^2），
BD^2＝（3－1）^2＋（4a）^2=4＋16（a^2），CD^2＝1＋a^2，由于BD是⊙M直径，且⊙M过点C，则CD⊥BC，BC^2＋CD^2＝BD^2
解得a＝1 或a＝-1（舍去），则抛物线方程y＝x^2－2x－3
（3）四边形BOCD面积S=1/2×（3＋4）×1＋1/2×2×4=15/2

PS：题目中附注的图应该是第四题吧，以后如果有注明“如图”字样，应该注意附图，数学是比较重视图文结合的；第三题要用到余弦定理，其他方法很难用，特别是相似；
给点分数效果就不一样嘛，如果你以后想要问题目，可以找Q：894160244

Answer 2

ado