Question

在RT三角形ABC中，角C=90度BE平分角ABC交AC于E，点D在AB上，DE垂直于EB，若AD=2√6,AE=6√2,求EC的长

Answer 1

过E点做AB的垂线,交AB为F点
因为 BE平分角ABC
所以 角ABE=角CBE
根据角平分线的定理
EF=EC
设EC=EF=X
过点D作AE的垂线.交AE于点G
则 三角形ADG 相似于 三角形AEF
所以 DG:EF=AD:AE
得: DG=√3 X/3
因为 角AED=角EBC=角FBE=角DEF
所以 DE是角AEF的角平分线
所以DG=DF=√3 X/3
由此得出 角DEF=角FBE=角EBC=30度
则 角A=30度
则DG=√6
因为DG=√3 X/3
所以 X=√2
所以 EC=√2

Answer 2

解：∵BE平分∠ABC, ∴∠CBE=∠EBD,
∵DE⊥EB, ∴∠DEB=∠C=90°.∴∠BDE=∠BEC,△BCE∽△BED
∴BE:BC=BD:BE, ∠ADE=∠AEB.
∴BE²=BC·BD,
∵∠ADE=∠AEB,∠A=∠A,
∴△ADE∽△AEB, ∴AD:AE=AE:AB ∴AE²=AD·AB
∴(6√2)²=2√6·AB, ∴AB=6√6. ∴BD=4√6
设CE=x,BC=y, 则 BE²=4√6 · y
在Rt △BEC中，BE²=x²+y²
∴x²+y²=4√6 · y …………………………①
在Rt △ABC中，AC²+BC²=AB²， ∴(x+6√2)²+y²=(6√6)²
整理得：72+12√2·x+x²+y²=216 …………②
①代入②：72+12√2·x+4√6 · y=216，
∴x= 6√2- √3/3 · y ……… ………………③
把③代入①整理得：y²-6√6· y+54=0，即：y²-6√6· y+（3√6）²=0
∴（y-3√6）²=0, ∴y=3√6,
∴(x+6√2)²=(6√6)²-(3√6)²=162, ∴x+6√2=±9√2
∴x=3√2 或 x=-15√2（舍去）,
∴ CE =3√2.