Question

已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(3,0)B(4,1)且与y轴交于点C已知抛物线y=ax2+b

x+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴ {9a+3b+3=0 16a+4b+3=1，
解得： {a=12 b=-52，
∴y= 12x2- 52x+3；
∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A点坐标为（3，0），
∴D点的坐标为：（0，3），
∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+3，
∴x 2-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3或0（不合题意舍去），
∴P点坐标为（0，3），
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，
由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，∴DF=4，
∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），
∴直线AD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+5，
∴x 2-3x-4=0，
解得：x 1=-1，x 2=4，
∴y 1=6，y 2=1，
∴P点坐标为（-1，6），（4，1），
∴点P的坐标为：（-1，6），（4，1），（0，3）；
（3）如图（2）：作EM⊥AO与M，
∵当OE∥AB时，△FEO面积最小，
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直线CA上，
∴E点坐标为（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x= 3/2，
∴E点坐标为（ 3/2， 3/2）．