Question

一道偏导数的证明题，有一步没有看懂，看不懂的地方已在答案里面标注

设函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数，且Fy的偏导数不为0，证明：对任意常数c，f(x,y)为一条直线的充分必要条件是
(Fy)^2*Fxx - 2Fx*Fy*Fxy+Fyy*(Fx)^2 = 0.

证明：若 f(x,y) = c为一条直线,
则
f(x,y) = ax + by + d, 其中，a,b,d均为常数。

fx = a,
fy = b,

fxx = fxy = fyy = 0.

故，
(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fy)^2 = 0.

若
(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fy)^2 = 0.
且f(x,y) = c.

因函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,
所以fxy = fyx

记y', y''分别为y关于x的1阶和2阶导数。

由f(x,y) = c, fy不为0. 有

fx + fy*y' = 0, y' = -fx/fy.

fxx + fxy*y' + (fyx + fyy*y')*y' + fy*y'' = 0, //这一步没有看懂，是对上式再对x和y分别求偏导数吗？

0 = fxx + fxy(-fx/fy) + [fyx + fyy(-fx/fy)](-fx/fy) + fy*y''

= fxx -2fxfxy/fy + fyy(fx/fy)^2 + fy*y''

= (1/fy)^2[(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fx)^2] + fy*y''

= fy*y''

y'' = 0.

所以，y = ax + b.

f(x,y) = c为一条直线。

Answer 1

那步就是将上一步的式子:fx + fy*y' = 0两边对x求偏导得到的.

追问

(fyx + fyy*y')*y' 这个为什么会对x求偏导的时候出现。。。？

追答

为什么f(x,y)对x求偏导会出现fx+fy*y'这两项呢?
其原因和fy对x求偏导会出现fyx+fyy*y'这两项是一样的.