Question

如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，DE垂直AB于E，DE垂直AC于点F，且BE=CF，求证A

如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，DE垂直AB于E，DE垂直AC于点F，且BE=CF，求证AD垂直BC

Answer 1

因为D为BC中点

所以BD=DC

又因为BE=CF，DE垂直BE，DF垂直CF

所以三角形BDE全等于三角形DFC（斜边直角边HL）

所以DE=DF

角B=角C

所以三角形ABC是等腰三角形

又因为DE垂直BE，DF垂直CF

所以AD为角平分线

所以AD垂直BC（等腰三角形底边上的中线、高和顶角角平分线三线重合）

 

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Answer 2

∵D是BC的中点 ED、FD分别⊥AB、AC与E、F
∴BD=DC ∠BED=∠DFC=90°
∵BE=FC ①
∴直角△BED≌直角△DFC （直角△边角原理）
得到 ED=FD
同理 直角△AED≌直角△AFD
得到AE=AF ②
①+②得到
AB=AC，因为D是等腰△ABC的中点
∴AD⊥BC