Question

数学：设函数y=f（x）（x属于R且x不等于0）对任意非0实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立。

（1）求证f（1）=f（-1）=0，且f（1/x）= - f（x）（x不等于0）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）若f（x）在（0，正无限大）上单调递增，解不等式f（1/x）-f（2x-1）大于等于0。（解析清楚）

Answer 1

(1)f(xy)=f(x)+f(y)中令x=y=1，得f(1)=2f(1),f(1)=0,令x=y=-1,得f(-1)=0∴f（-1）=f（1）=0最后在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1/x,x≠0,得f(1)=f(x)+f(1/x)=0,即f(1/x)=-f(x)(2)令y=-1,得f(-x)=f(-1)+f(x),即f(-x)=f(x),f(x)为偶函数(3)原不等式即f(1/x)≥f(2x-1),又f(x)为偶函数,即f(1/x的绝对值)≥f(2x-1的绝对值)且f(x)在0到正无穷单调递增,∴1/x的绝对值≥2x-1的绝对值,而且f(x)要有意义,1/x≠0,2x-1≠0,即x≠1/2和0等价于(2x^2-x)的绝对值小于或等于1∴-1≤2x^2-x≤1,解得-1/2≤x≤1,且x≠1/2和0故-1/2≤x＜0或0＜x＜1/2或1/2＜x≤1

Answer 2

1.f(1*(-1))=f(-1)=f(1)+f(-1),所以f(-1)=0,所以f(1)=0因为f(x*(1/x))=f(1)=f(x)+f(1/x)=0,所以f(1/x)=-f(x)2.因为f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(x)为奇函数3.原式=f（1/x）-f（2x-1）=-f(x)-f(2x-1)=-(f(x)+f(2x-1))=-f(x+2x-1)=-f(3x-1)=f[1/(3x-1)]>0=f(0)即f[1/(3x-1)]>f(0),由于f(x)在区间上单调递增，所以1/(3x-1)>0,解得3x-1>0,x>1/3

Answer 3

(1)f(1*y)=f(1)+f(y)f(1)=0f(-1*y)=f(-1)+f(y)f(-1)=0f(1/x)+f(x)=f(1/x*x)=f(1)=0f(1/x)=-f(x)(2)f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)所以为偶函数（3）f(1/x)+f(x)-f(2x-1)-f(x)=-[f(2x-1)+f(x)]=-f[x(2x-1)]=-f[2(x-1/4)^2-1/8]>=0