Question

已知函数f（x）=|x3-3x|，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同实数解的充要条件是

做出了f(x)的图像，令f(x)=t,求出了当T=2和0的时候与f(x)共有7个交点，但这样为什么能说明
方程f(x)^2+bf(x)+c=0恰有7个不同实数解？

Answer 1

记f(x)=|x³-3x|, 考虑方程f(x)=k的解的个数：
当k<0时，f(x)=k无解；
当k=0时，f(x)=k有3个解；
当0<k<2时，f(x)=k有6个解；
当k=2时，f(x)=k有4个解；
当k>2时，f(x)=k有2个解。
关于x的2次方程最多有两个解f(x)=k1, f(x)=k2
要使其关于x的解恰有7个，则因为7=1+6=2+5=3+4,对比f(x)=k的解的个数，只能是f(x)=k1有3个解，f(x)=k2有4个解；
即k1=0, k2=2
所以由根与系数的关系，得
两根和=2=-b,得b=-2
两根积=0，得c=0