Question

设函数f(x)=a^2*lnx-x^2-x^2+ax(a>0)

1.求f(x) 单调区间,
2.求所有实数a使e-1<=f(x) <=e^2. 对x属于[1 e]恒成立。
题目纠正，f(x)=a^2*lnx-x^2+ax(a>0)

Answer 1

函数应该是：f(x)=a^2*lnx-x^2-a^2+ax(a>0)
显然x>0（定义域）

(1)易知f'(x)=a^2/x-2x+a=-(x-a)(2x+a)/x
因x>0，a>0，则2x+a>0
当0<x<a时，x-a<0，则f'(x)>0，即f(x)递增
当x>a时，x-a>0，则f'(x)<0，即f(x)递减
所以f(x)的递增区间为(0,a)
f(x)的递减区间为(a,+∞)

(2)易知x=a为f(x)的极大值点
若a<1
则f(x)在区间[1,e]上递减
于是在区间[1,e]上f(x)min=f(e)=ea-e^2，f(x)max=f(1)=-a^2+a-1
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤ea-e^2≤-a^+a-1≤e^2恒成立
显然-a^2+a-1<0，上式不成立

若1≤a≤e
则f(x)在区间[1,e]上不单调
于是在区间[1,e]上f(x)min=min{f(1),f(e)}=min{-a^2+a-1，ea-e^2}，f(x)max=f(a)=a^2(lna-1)
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤min{-a^2+a-1，ea-e^2}≤a^2(lna-1)≤e^2恒成立
显然a^2(lna-1)<0，上式不成立

若a>e
则f(x)在区间[1,e]上递增
于是在区间[1,e]上f(x)min=f(1)=-a^2+a-1，f(x)max=f(e)=ea-e^2
要使在区间[1,e]上e-1≤f(x)≤e^2恒成立
则必有区间[1,e]上e-1≤f(x)min≤f(x)≤f(x)max≤e^2恒成立
即e-1≤-a^2+a-1≤ea-e^2≤e^2恒成立
显然-a^2+a-1<0，上式不成立

综上知满足条件的实数a不存在

追问

题目对的
f(x)=a^2*lnx-x^2-x^2+ax(a>0)
，没有-a^2

追答

为什么不写成f(x)=a^2*lnx-2*x^2+ax(a>0)呢？容易让人误解。解题的基本思路跟上面是一样的，不妨自己再试试

追问

f(x)=a^2*lnx-x^2+ax(a>0)
这回题目对了，不要乱改我的题目