Question

设函数fx是定义在r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且当0<=x<=2时，f(x)=2x-x^2

（1）当-2<=x<=0时，求f(x)的表达式
（2）求f(1)+f(2)+f(3)……+f（2008）的值

Answer 1

（1）
当 -2<=x<=0 时，0<=x+2<=2 ，
因此 f(x)= -f(x+2)= -[2(x+2)-(x+2)^2]= x^2+2x 。
（2）
由已知得 f(x+4)=f[(x+2)+2] = -f(x+2)= -[ -f(x)] =f(x) ，
这说明函数是以 4 为周期的周期函数，
在已知等式中，分别令 x=1 和 x=2 ，得 f(3)= -f(1) ，f(4)= -f(2) ，
因此 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)-f(1)-f(2)=0 ，
所以 f(1)+f(2)+f(3)+.........+f(2008)
=502*[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=502*0=0 。