Question

若动圆M与圆x^2+4x+y^2+3=0和x^2+y^2-4x=0都外切,求M点的方程

Answer 1

解：设动员M的圆心为C(x,y)，半径为r，则：
定圆C1：x²+y²+4x=0化为(x+2)²+y²=4，可知圆心C1(-2,0)，半径r1=2
定圆C2：x²+y²-4x-60=0化为(x-2)²+y²=64，可知圆心C2(2,0)，半径r2=8
因为圆心C1.C2间的距离|C1C2|=4<r2-r1，所以圆C1在圆C2的内部
若动圆M与定圆C1外切，且与定圆C2内切，则可知动圆M也在圆C2的内部
即有r<r2即r<8
且|CC1|=√[(x+2)²+y²]=r1+r=2+r
|CC2|=√[(x-2)²+y²]=r2-r=8-r
上述两式相加得：
√[(x+2)²+y²] +√[(x-2)²+y²]＝10
即动圆圆心到两定点(2,0)和(-2,0)的距离的和等于常数10
则由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以原点为中心，焦点坐标为(2,0)和(-2,0)，长轴长为10的椭圆。
因为c=2，2a=10即a=5，则b²=a²-c²=21
所以所求动圆圆心的轨迹方程为x²/25 +y²/21=1