Question

求lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/x

求大神！，我解出来答案是0，感觉怪怪。。。。

Answer 1

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/x 分子分母同时乘以[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim(x→0) [√(1+tanx)-√(1+sinx)]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)] / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]*x
=lim(x→0) (tanx -sinx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]*x
=lim(x→0) (tanx /x) *(1-cosx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]
显然x趋于0的时候，
1-cosx趋于0，而tanx /x趋于1，
而 [√(1+tanx)+√(1+sinx)]趋于常数2，
那么三者相乘，得到的极限值当然就是0

做题目对自己要有信心的啊～

Answer 2

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2] 

=lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)] 

=lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2] 

洛必达法则

=lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

=lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(x)]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

=lim(x→0)(1-cos^3(x))/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] 

洛必达法则

=lim(x→0)[3cos^2(x)*sinx]/2[1/(1+x)^2+1/(1+x)-2] 

=lim(x→0) 3x/2[(-2x^2-3x)/(1+x)^2]

=lim(x→0) 3x/2(-2x^2-3x)

=lim(x→0) 3x/(-4x^2-6x)

=-1/2

扩展资料

性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列

收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 3

对，就是0

追问

方不方便 给过程？

追答

不好意思，昨天早断网，没看到追问，今天又学了一天，说一下sorry