Question

已知函数f(x)=2√3sin

已知函数f(x)=2√3sin²(π/4+mx)-2cos²mx-√3(0＜m＜6)的图像关于点(-π/12，1)成中心对称
(1)求m的值
(2)已知锐角三角形ABC的内角为A,B,C,且满足2A=B,求f(A)的值域

求步骤告知方法 谢谢了

Answer 1

（1）f(x)=2√3sin^2(π/4+mx)-2cos^2mx-√3(0＜m＜6)

=√3[1-cos(π/2+2mx)]-cos2mx-1-√3
=√3sin2mx-cos2mx-1
=2sin(2mx-π/6)-1
f(0)=2sin(0-π/6)-1
=-2*1/2-1
=-2
关于点(-π/12,1)成中心对称
(0,-2)对称点为：x=-π/12*2-0=-π/6
y=1*2-(-2)=0
即对称点(-π/6,0)
f(-π/6)=0
2sin[2m(-π/6)-π/6]-1=0
sin(-mπ/3-π/6)=1/2
-mπ/3-π/6=π/6+2kπ
-2m-1=1+12k
2m=-12k-2
m=-6k-1
∵0<m<6
∴0<-6k-1<6
1<-6k<7
-7/6<k<1/6
k=-1
m=5
（2）f(x)=2sin(10x-π/6)-1
2A=B
∵是锐角三角形
∴0<2A<π/2
0<A<π/4
0<C=π-(A+B)<π/2
-π<-3A<-π/2
π/6<A<π/3
因此，π/6<A<π/4
5π/3<10A<5π/2
3π/2<10A-π/6<7π/3=2π+π/3
sin(10A-π/6)在以上区间内为单调递增，函数值域为：(-1,√3/2)
f(A)=2sin(10A-π/6)-1的值域：(-2,√3/2-1)

追问

你答案跟另一个不一样啊。。

Answer 2

解：先化简f(x)=-2sin（2mx+π/6）-1

因为函数关于(-π/12，1)成中心对称，则f(-π/12)=1

得-π/6m+π/6=-π/2+2kπ，又0＜m＜6，得m=4

2)f(x)=-2sin（8x+π/6）-1
因为三角形是锐角的，且2A=B，A+B+C=π，则0＜A＜π/4
则f(A)=-2sin（8A+π/6）-1
令t=8A+π/6，f(t)=-2sin（t）-1，则π/6＜t＜13π/6
得到-1≤f(t)≤1.，则f(A)的值域为[-1，1]

追问

请问第一步是怎么化简的？