如图,在Rt三角形ABC中,角C=90度,AC=8cm,BC=6cm,若动点p从点c开始,按C到A
(1)当t为何值时,cp把三角形ABC的周长分成相等的两部分;
(2)当t为何值时,cp把三角形ABC的周长分成相等的两份,并求此时CP的长;
(3)当t为何值时,三角形BCP为等腰三角形? 展开
(1)△ABC中,∵∠C=Rt∠,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm,
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,
∴t=12÷2=6(秒);
(2)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),
∴t=13÷2=6.5(秒);
(3)△BCP为等腰三角形时,分三种情况:
①如果CP=CB,那么点P在AC上,CP=6cm,此时t=6÷2=3(秒);
如果CP=CB,那么点P在AB上,CP=6cm,此时t=5.4(秒)
(点P还可以在AB上,此时,作AB边上的高CD,利用等面积法求得CD=4.8,再利用勾股定理求得DP=3.6,所以BP=7.2,AP=2.8,所以t=(8+2.8)÷2=5.4(秒))
②如果BC=BP,那么点P在AB上,BP=6cm,CA+AP=8+10-6=12(cm),此时t=12÷2=6(秒);
③如果PB=PC,那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处,即在AB的中点,此时CA+AP=8+5=13(cm),
t=13÷2=6.5(秒);
综上可知,当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,△BCP为等腰三角形.
(2)当p运动6秒正好等分三角形周长时,Bp=12-BC=12-6=6cm=BC,此时△BCp是以Cp为底边的等腰三角形,从p向BC边作垂线pM将BC分为两部分(BM:MC=Bp:pA=6:(10-6)=3:2=3.6cm:2.4cm),Bp:AB=Mp:AC,所以Mp=(Bp:AB)*AC=(6:10)*8=4.8cm,再按勾股定理,Cp=√(Mp^2+MC^2)=√(4.8^2+2.4^2)=2.4√5cm;
(3)前已算得,当t=6秒时,Bp=BC=6,此时BCp是等腰三角形;如果p继续向B移动,Bp和Cp都将继以不同速率缩短,当Bp=Cp时再次形成等腰三角形,此时pM平分BC,pM=4,BM=3,Bp=5,Ap=5,时间t=(AC+Ap)/2=(8+5)/2=6.5秒;
当t=6秒和6.5秒时,三角形BCp成等腰三角形。