Question

如图，在Rt三角形ABC中，角C=90度，AC=8cm，BC=6cm，若动点p从点c开始，按C到A

到B到C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒。
（1）当t为何值时，cp把三角形ABC的周长分成相等的两部分；
（2）当t为何值时,cp把三角形ABC的周长分成相等的两份,并求此时CP的长；
（3）当t为何值时,三角形BCP为等腰三角形？

Answer 1

（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴t=12÷2=6（秒）；

（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），
∴t=13÷2=6.5（秒）；

（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

Answer 2

（1）先算出三角形周长，按勾股数定理，斜边AB=√(AC^2+BC^2)=10cm；半周长=(8+6+10)/2=12cm，因为p点的运动速度是2cm/秒，所以t=半周长/2=12/2=6秒；
（2）当p运动6秒正好等分三角形周长时，Bp＝12-BC=12-6=6cm=BC，此时△BCp是以Cp为底边的等腰三角形，从p向BC边作垂线pM将BC分为两部分（BM:MC=Bp:pA=6:(10-6)=3:2＝3.6cm:2.4cm），Bp:AB=Mp:AC，所以Mp=(Bp:AB)*AC=(6:10)*8=4.8cm，再按勾股定理，Cp=√(Mp^2+MC^2)=√(4.8^2+2.4^2)=2.4√5cm；
（3）前已算得，当t=6秒时，Bp=BC=6，此时BCp是等腰三角形；如果p继续向B移动，Bp和Cp都将继以不同速率缩短，当Bp=Cp时再次形成等腰三角形，此时pM平分BC，pM=4，BM=3，Bp=5，Ap=5，时间t=(AC+Ap)/2=(8+5)/2=6.5秒；
当t=6秒和6.5秒时，三角形BCp成等腰三角形。