Question

一道关于椭圆的高中数学题

椭圆x^2+3y^2=6的左准线交X轴于M点。设斜率存在的过M点的一条直线交椭圆于A、B两点，A关于X轴的对称点为C，求证：B、C、 F三点共线

Answer 1

准线x=-3，椭圆c=2

M（-3,0），F1（-2,0）

MAB直线为y=k（x+3）

联立椭圆方程和MAB直线方程消去y得x的一元二次方程；

利用韦达定理求出两个之和xa+xb和两根之积xa*xb（因为后面的化简用得到），都是k的表达式；

要证BF1C共线，等价于BF1斜率=BC斜率，经过化简可证明。

Answer 2

解：椭圆方程是x^2/6+y^2/2=1, c^2=6-2=4
因为左准线方程为 x=-a^2/c =-3 ，所以点M坐标为（-3，0）．
于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
则点C的坐标为（x 1 ，-y 1 ），y 1 =k（x 1 +3），y 2 =k（x 2 +3）．
由椭圆的第二定义可得|FB|/|FC| =(x 2+3)/(x 1 +3) =| y 2 |/| y 1 | ，
所以B，F，C三点共线，