Question

求函数f(x)=ln^2(1+x)-x^2/(1+x)单调区间

这题穿根法能做吗？ 2(1+x)ln(1+x)-x^2-2x f(x)求导后是这个：f'(x) = --------------------------------- (1+x)^2

Answer 1

你好！
f'(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)-[2x(1+x)-x^2]/(1+x)^2 =2ln(1+x)/(1+x)-(x^2+2x)/(1+x)^2令t=1+x>0则f'=2lnt/t-(t+1)(t-1)/t^2=(2lnt-t+1/t)/t令g(t)=2lnt-t+1/tg'(t)=2/t-1-1/t^2=-(1/t-1)^2<=0因此g(t)单调减，最多只有一个零点又因为g(1)=0, 因此0<t<1时f单调增，t>1时f单调减换成x, 即有：-1<x<0时,f(x)单调增x>0时，f(x)单调减方法二：函数f（x）的定义域是（-1，+∞）， 设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，则g'（x）=2ln（1+x）-2x．令h（x）=2ln（1+x）-2x，则 当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数．于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．所以，当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上为增函数．当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数．故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）