Question

在平面坐标系中,抛物线y=ax+bx+c的顶点为D(1,4),且过点A(-1,0)与x轴另一个交点为B

在平面坐标系中,抛物线y=ax+bx+c的顶点为D(1,4),且过点A(-1,0)与x轴另一个交点为B,与y轴交于点C （1）点P为抛物线上一点,点Q是y轴上一点,以点B,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出P,Q的坐标。 （2）在直线AC上是否存在一点M，使△BOM的周长最小存在的话求出M点坐标

Answer 1

这个题不难，就是麻烦了些。。。没有纸，直接给思路了。。。
由顶点式得：y=a（x-1）²+4=ax²-2ax+（a+4）=ax²+bx+c，于是b=-2a，c=a+4
点A带入顶点式得0=4a+4，于是a=-1，故b=2，c=3
于是抛物线方程为y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），则B（3,0），C（0,3）
（1）设P、Q两点坐标，由平行四边形知BD∥PQ（即斜率相等），BD=PQ，解方程组就得到了

（2）假设存在这样的M点，给出AC的直线方程，设M点坐标，得到△BOM的周长表达式，计算最小值及最小时的条件，推出M点

追问

斜率怎么用? 设P点的坐标为(a,b)吗?
第二小题还是不太懂 我数学最近弱爆了 求教

追答

额。。。
（1）别用（a，b）啊。。。
给出直线BD的方程，
设P（x0，-x0²+2x0+3），Q（0，y1）【0、1是下角标】，得到直线PQ的方程。
分别计算出直线BD、直线PQ的斜率，因为BDPQ是平行四边形故BD∥PQ，故两直线的斜率相等，得到一个方程。
再分别计算出线段BD和线段PQ长度，二者相等得到另一个方程。
两方程联立，解开即可
（2）假设存在符合条件的M点，由第一问的条件可以推出AC的直线方程，M在直线AC上，用直线方程表示其坐标，计算BO、OM、MB长度，加起来就得到周长的表达式。推算周长表达式的最小值，得到对应的解，从而得到M点坐标。

追问

我就是不会表示 bo om mb 的长度 你得结合一下 计算 告诉我 谢谢你了

追答

已知两点求长度有一个公式的啊，没学过吗？
设A(x1,y1), B(x2,y2)
则AB = √[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
这个公式很常用的，背下来吧

追问

完全不懂啊 斜率什么的都没学 我这个应该不用那么麻烦把 你可以写下 计算过程 并附加 解释吗 不行的算了

追答

没草纸了，在电脑上算太麻烦了啊。。
斜率也没学？看这道题的难度不像啊。。
斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)
不用斜率的话，用两组对边分别相等也能算。。。麻烦程度差不多