Question

一元一次方程式的解法

Answer 1

一）知识要点：

　　1．一元一次方程的概念：
　　只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。
　　一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=- 。
　　我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

　　2．解一元一次方程的一般步骤：
　　（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。
　　（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字因数时要注意使用分配律。
　　（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。注意移项要变号。
　　（4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。
　　（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 。
　　解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

　　（二）例题：

　　例1．解方程 (x-5)=3- (x-5)
　　分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并，使运算简便。
　　解：移项得： (x-5)+ (x-5)=3
　　合并得：x-5=3
　　∴ x=8。

　　例2．解方程2x- = -
　　解：因为方程含有分母，应先去分母。
　　去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2)　 （注意每一项都要乘以6）
　　去括号：12x-3x-3=8-2x-4　 (注意分配律及去括号法则)
　　移项：12x-3x+2x=8-4+3
　　合并：11x=7
　　系数化成1：x= 。

　　例3． { [ ( +4)+6]+8}=1

　　解法1：从外向里逐渐去括号，展开求解：
　　去大括号得： [ ( +4)+6]+8=9
　　去中括号得： ( +4)+6+56=63
　　整理得： ( +4)=1
　　去小括号得： +4=5
　　去分母得：x+2+12=15
　　移项，合并得：x=1。

　　解法2：从内向外逐渐去括号，展开求解：
　　去小括号得： { [ ( + +6]+8}=1
　　去中括号得： { + + +8}=1
　　去大括号得： + + + =1
　　去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945
　　　　　即：x+2+12+90+840=945
　　移项合并得：∴x=1。
　　注意：从上面的两种解法可以看到，解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来，可以按照具体的题目灵活运用方法。

　　例4．解方程 [ ( -1)-2]-2x=3
　　分析：此方程含括号，因为 × =1，所以先去中括号简便。
　　解：去中括号：( -1)- -2x=3
　　去小括号： -1- -2x=3
　　去分母：5x-20-24-40x=60
　　移项：5x-40x=60+44
　　合并项：-35x=104
　　系数化成1得：x=- 。

　　例5．解方程 - - =0
　　分析：本方程分子、分母中都含有小数，如果直接去分母，会使运算繁琐。但如果利用分数的性质，即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质，使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数，就能使运算简便。
　　解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以10，第二项分子、分母同乘以100），原方程可化为：
　　 - - =0
　　去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0
　　去括号：24x+54-30+20x-15x+75=0
　　移项得：24x+20x-15x=-54+30-75
　　合并得：29x=-99
　　系数化成1：x=- 。

　　例6．在公式S= (a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。
　　分析：这是梯形面积公式，四个量S，a, b, h中知道任意3个量的值，都可以求出第四个量的值。

　　解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得
　　44= (5+b)×8　这是关于b的一元一次方程
　　化简得：b+5=11
　　移项，合并得：b=6。

　　解法2：先把b看作未知数，把其它量都看作已知数，将公式变形，用其它三个量来表示b，然后再代入已知数的值求出b。
　　S= (a+b)h
　　去分母：2S=(a+b)h
　　去括号：2S=ah+bh
　　移项：2S-ah=bh　 即bh=2S-ah
　　系数化成1：∵ h≠0，∴ b= -a (一定不要忘记条件h≠0)
　　当a=5, S=44，h=8时，
　　b= -5=11-5=6
　　∴ b=6。

　　例7．当x=2时，式子x2+bx+4的值为0，求当x=3时，x2+bx+4的值。
　　分析：这仍是一元一次方程的应用的例子，要求x2+bx+4的值，先求出b的值，最后求当x=3时，x2+bx+4的值。
　　解：∵ 当x=2时，x2+bx+4的值为0，
　　∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)
　　解这个方程得2b=-8，∴ b=-4，
　　∴ x2+bx+4为x2-4x+4，
　　当x=3时，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,
　　∴ 当x=3时，这个式子值为1。

　　例8．解绝对值方程：
　　(1) |2x-1|=8　　　(2) =4　　(3) =4
　　(4) |3x-1|+9=5　　(5) |1-|x||=2
　　说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b|=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论，当c>0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程，从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。
　　(1)解：∵ |2x-1|=8
　　∴ 2x-1=8或2x-1=-8
　　∴ 2x=9或2x=-7
　　∴ x= 或x=-
　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　(2)解：∵ =4
　　去分母得：|3x+2|=12
　　∴ 3x+2=12或3x+2=-12
　　∴ 3x=10或3x=-14
　　∴ x= 或x=-
　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　　(3)解：∵ =4
　　去分母：2|x|+5=12
　　移项，合并同类项：2|x|=7
　　系数化为1：|x|=
　　∴ x=±
　　∴ 原方程的解为x= 或x=- 。
　　(4)解：∵ |3x-1|+9=5
　　∴ |3x-1|=-4
　　∵ 任何有理数的绝对值均为非负数，
　　∴ 此方程无解。
　　(5)解：∵ |1-|x||=2，
　　∴ 1-|x|=2 或 1-|x|=-2，
　　∴ |x|=-1 或 |x|=3，∴ x=±3，
　　由绝对值概念知，此方程无解；
　　∴ x=±3是原方程的解。
　　在第（5）个方程中，要处理两次绝对值，只要严格按规律办事就能顺利求出x的值。

　　（三）练习：

　　一、填空：
　　1．方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解为___________。
　　2．若|3x-2|=2，则x为____________。
　　3．当x=________时，代数式3x-2和3- x的值互为相反数。
　　4．关于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，则m=_______。
　　5．若代数式 +5的值是代数式 的值的倒数，则x=__________。
　　6．若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，则x=_______, y=______。

　　二、解方程：
　　1．1- + =
　　2． { [ ( +1)-1]+x}=1
　　3． - =

　　练习参考答案：

　　一、填空：
　　1. x=5　　2. x= 或x=0　　3. x=-
　　4. m=1　　5. x=92　　　　 6. x=- , y=

　　二、解方程：
　　1. x= 　　2. x= 　　3. y=

　　选择题
　　1．方程 中，如果x=1，那么a的值等于（　　 ）
　　A、-1　　B、0　　C、1　　D、2

　　2．下列方程中，解为2的是（　 ）
　　A、4y+2＝6　　　　　 B、
　　C、 y－1＝3+ y　　 D、 x＝0.25x+100

　　3．方程2x-3=3与方程 =0是同解方程，则a的值等于（　　 ）
　　A、 　　B、2　　C、1　　D、0

　　4．如果x=1是方程 的解，那么关于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的解是(　 )
　　A、-10　　B、0　　C、 　　D、以上都不对

　　5．解方程 时，去分母后，正确的结果是（　）
　　A、 　　 B、
　　C、 　　D、

答案与解析

　　答案：1、C　 2、B　 3、B　 4、B　 5、C
　　解析：
　　1、分析：因为x=1满足方程，故把它代入方程就得到关于a的一元一次方程，解这个关于a的一元一次方程时可以采用先去外面的大括号，然后是中括号，最后是小括号的顺序来求解。
　　2、分析：根据一元一次方程的解的定义，把2分别代入各个方程中检验方程左右两边是否相等。
　　3、分析：根据同解方程的定义，第一个方程的解应该满足第二个方程，第一个方程的解为3，将它代入第二个方程得到a的值是2。
　　4、分析：因为x=1是方程 的解，故将x=1代入方程就可以解出m=1，然后把它代入后一个方程，就可以解出y=0。
　　5、分析：方程两边都乘以6，去分母，得
　　
　　去括号，得 ，故选C。

一元一次方程和它的解法

　　考点扫描：了解一元一次方程的概念；灵活运用等式的基本性质解一元一次方程，会对方程的解进行检验。
　　名师精讲：
　　1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的特点是：它们或者不含分母，或者含有分母但分母中不含有未知数，将它们经过去分母、去括号，移项，合并等变形后，都能化为最简形式ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）。
　　2．移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的根据。要明白移项，就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边，或从右边移到左边，移动的项一定要改变性质符号，这是经常容易忽略的。
　　3．解一元一次方程的步骤：
　　（1）去分母：方程的两边都乘以各分母的最简公分母。
　　（2）去括号：括号前是“-”号时，切记括号内的各项都要变号。有多层括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
　　（3）移项：把含有未知数的项移到同一边，其他的项移到另一边。要注意，移动的项一定要变号。
　　（4）合并：将方程化为ax=b(a≠0)的形式。
　　（5）系数化为1：方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解。
　　注意：（1）去分母时，不要漏项，分子是多项式时要加括号；
　　（2）化系数为1时，要弄清分子、分母，不要犯x= 的错误。
　　中考典例：
　　1．（江苏南京）关于x的方程3x+2a=0的根是2，则a等于______。
　　考点：一元一次方程的解法
　　评析：因为2是方程3x+2a=0的根，所以根据方程的根的意义将2代入方程，两边一定相等，即6+2a=0，是关于a的方程，解这个方程，即可求得a=-3。
　　2．（云南昆明）已知a是整数，且0<A<10< SPAN>，请找出一个a=________使方程1- ax=-5的解是偶数。
　　考点：一元一次方程的解法
　　评析：该题考查学生灵活运用解一元一次方程知识的能力。因方程中含有两个字母，而a是整数，且0<A<10< SPAN>，显然x是未知数。当x是偶数时，在0<A<10< SPAN>中，求a值。先解方程得x= ，而x是整数，所以a是12的约数，且0<A<10< SPAN>。于是a的可取值分别是1，2，3，4，6，12，但4，12不能使x值是偶数，所以a的值为1，2，3，6。该题可拓展为方程的解是奇数时求a值。

　　真题专练：
　　1．（荆州市）如果x=0是方程3x-2m=4的根，则m的值是（　 ）
　　A、 　　B、- 　　C、2　　D、-2
　　2．（无锡市）若x=2是关于x的方程2x+3k-1=0的解，则k的值是______。
　　答案：1、D（提示：当x=0时，方程3x-2m=4变为-2m=4，解关于m的方程得m=-2）　2、-1

Answer 2