Question

设函数f(x)=-1/3x~3+2ax~2-3a~2x+1(0<a<1) （~为方）

Answer 1

答：
(1).
f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a),其中(0<a<1)
易得x∈(-∞,a)时，f(x)递减；
x∈(a,3a)时，f(x)递增；
x∈(3a,+∞)时，f(x)递减。
x=a时，f(x)有极小值,f(a)=1-20a^3/3；
x=3a时,f(x)有极大值,f(3a)=1。
(2).
x∈[a+1,a+2]时，因为(0<a<1)所以a+2>3a.
当(0<a<1/2)时，a+1>3a；当[1/2<a<1)时，a+1<3a。分类讨论：
①
当(0<a<1/2)时：|f'(x)|=(x-a)(x-3a),当x=a+2时，|f'(a+2)|为最大值。
2(2-2a)<=a,即a>=4/5与(0<a<1/2)矛盾。所以此时不存在符合的a。
②
当[1/2<a<1)时：
当x∈[a+1,3a)时，|f'(x)|=-(x-a)(x-3a)记为F(x).
F'(x)=-2x+4a，在[a+1,3a]恒<0.即F(x)最大值为F(a+1)=2a-1<=a，即a<=1
所以a范围为[1/2,1)；
当x∈[3a,a+2]时，|f'(x)|=(x-a)(x-3a)=F(x).
F'(x)=2x-4a>0,所以F(x)最大值为F(a+2)=2(2-2a)<=a，即a>=4/5.
所以a范围为[1/2,1)∩[4/5,1)=[4/5,1)

所以综上所述a的取值范围为：[4/5,1).

囧...那就修改一下：
(2).
记|f'(x)|=F(x)。x∈[1-a,a+1]时，
①
若1-a<=a，则1/2<=a<1。此时a+1<=3a。
在[1-a,a]时，F(x)=|f'(x)|=(x-a)(x-3a).F'(x)=2x-4a在[1-a,a]上恒<0所以F(x)此时递减，F(x)最大值为F(1-a)=(1-2a)(1-4a)<=a，解得a范围为[1/2,(7+√17)/16].
在(a,1+a]时,F(x)=|f'(x)|=-(x-a)(x-3a).F'(x)=-2x+4a.当F'(x)=0时，x=2a<a+1.所以易知此时F(2a)为F(x)的最大值，F(2a)=a^2<=a，解得a∈[0,1].
两个范围取交集有a∈[1/2,(7+√17)/16]；
②
若3a>=1-a>a，则1/4=<a<1/2.
在[1-a,3a]时，F(x)=|f'(x)|=-(x-a)(x-3a),F'(x)=-2x+4a，当F'(x)=0时，x=2a.
1.当2a<=1-a时，1/4<=a<=1/3.此时F'(x)<=0，F'(x)最大值为F(1-a)=-(1-2a)(1-4a)<=a在[1/4,1/3]恒成立.
2.当2a>1-a时，1/3<a<1/2.此时F(2a)为F(x)最大值,F(2a)=a^2<=a,解得a∈[0,1]，与定义域交得：(1/3,1/2)
(1/3,1/2)∪[1/4,1/3]=[1/4,1/2)
③
若3a<1-a,则0<a<1/4.
F(x)=|f'(x)|=(x-a)(x-3a),F'(x)=2x-4a>0，所以此时最大值F(x)=F(1+a)=1-2a<=a，解得a>=1/3>1/4,所以无解。

综上所述，符合的情况为[1/4,1/2)∪[1/2,(7+√17)/16]=[1/4,(7+√17)/16]
a的取值范围为：[1/4,(7+√17)/16]

Answer 2

解：（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤
1
3
时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a
∴
a∈Ra≥13
∴a≥
1
3
．
此时，a=
1
3
．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即
1
3
＜a＜1，[f′（x）]max=f′（2a）=a2．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a
即
2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a
∴
a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.
∴
1
3
≤a≤
7+17
16
．
此时，
1
3
＜a≤
7+17
16
．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[
1
3
，
7+17
16 ]．（14分）