Question

高数，概率

Answer 1

其实就是看E(∑(xi-x均)^2)这个是什么
展开(xi-x均)^2得到xi^2-2xix均+x均^2
于是E(∑(xi-x均)^2)=E(∑xi^2)-E(∑2xix均)+E(∑x均^2)
因为E(xi^2)=D(xi)+[E(xi)]^2=μ^2+σ^2
所以第一部分E(∑xi^2)=∑E(xi^2)=n(μ^2+σ^2)
因为E(x均)=μ, D(x均)=σ^2/n, 所以E(x均^2)=σ^2/n+μ^2
-E(∑2xix均)+E(∑x均^2)=-2nE(x均^2)+nE(x均^2)=-nE(x均^2)=-n(σ^2/n+μ^2)=-nμ^2-σ^2
所以E(∑(xi-x均)^2)=E(∑xi^2)-E(∑2xix均)+E(∑x均^2)=n(μ^2+σ^2)-nμ^2-σ^2=(n-1)σ^2

所以结论是[∑(xi-x均)^2]/n不是无偏估计，而[∑(xi-x均)^2]/(n-1)是无偏估计。所以在统计的时候我们会用除以n-1的样本方差去估计真正的方差

追问

我问的标准差，不是方差，麻烦看清楚题目。方差的无偏估计我知道该这样做。书上多的是，但是标准差我想问问？希望阁下不吝赐教，还有回答问题可不可以使用标准的数学公式。这样看起来很不舒服。

追答

抱歉，没看清题目，
其实我们只要基于刚才的结论再多加一步就能证明。
我直接网页上输入的，抱歉不能输入数学公式

E(s^2)=σ^2.
同时E(s^2)=D(s)+[E(s)]^2
因为D(s)≥0,则[E(s)]^2≤E(s^2),
即[E(s)]^2≤σ^2,得到E(s)≤σ.即s不是σ的无偏估计。

追问

等号不能消去吗？这样还不够严格吧。因为毕竟还存在相等的情况。相等不就无偏估计了。还应该把等号消去吧。你这个结论只能说明有可能是无偏估计，有可能不是无偏估计。而不能得要严格的非无偏估计。你说是不是？

追答

你觉得D(s)在什么情况下等于0，那就是方差为0的时候，的确，无论标准差还是方差如果是0的话，我只能认为无偏，不是么？

追问

对呀，这个说明的确是必要的嘛。辛苦了。