Question

在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA PB PC最短并证明

Answer 1

设锐角△ABC。（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明）。下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短）。====》AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。

Answer 2

编辑]费马-托里拆利点
托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形
的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。
1647年，博纳文图拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的第三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。[4]
[编辑]作法及证明
下面是三角形的费马点的作法：
当有一个内角不小于
时，费马点为此角对应顶点。
当三角形的内角都小于
时
以三角形的每一边为底边，向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
连接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。
[编辑]几何证明
三角形的内角都小于
的情况：
首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角
等于60度，和
相等。因此，C'、A、B、P
四点共圆。同样地，可以证明B'、A、C、P四点共圆。于是：在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点，给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和
比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马点问题最早是由法国
数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。[1]托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
[编辑]源起：费马的问题
1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃万杰利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因[1]。

Answer 3

为二位

Answer 4

- - 怎么高