直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若
若丨AB丨=L(L>2p),则丨MN丨=A、L/4B、p/2C、(L-p)/2D、(L+2p)/8求过程!...
若丨AB丨=L(L>2p),则丨MN丨=
A、L/4 B、p/2 C、(L-p)/2 D、(L+2p)/8求过程! 展开
A、L/4 B、p/2 C、(L-p)/2 D、(L+2p)/8求过程! 展开
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答:选择A
抛物线x^2=2py,p>0
则抛物线开口向上,焦点F(0,p/2),准线y=-p/2
直线为:y-p/2=kx,y=kx+p/2
代入抛物线方程有:
x^2=2py=2p(kx+p/2)=2pkx+p^2
x^2-2pkx-p^2=0
根据韦达定理:
x1+x2=2pk
x1*x2=-p^2
点M横坐标x=(x1+x2)/2=pk
AB=L,AB^2=L^2:
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=L^2
(k^2+1)(x1-x2)^2=L^2
(x1+x2)^2-4x1x2=L^2/(k^2+1)=4(pk)^2+4p^2=4(k^2+1)p^2
L^2=4(k^2+1)^2*p^2
所以:L=2(k^2+1)p
x=pk代入x^2=2py得:y=(pk^2)/2
点M纵坐标y=kx+p/2=k*pk+p/2=pk^2+p/2
所以:MN=pk^2+p/2-(pk^2)/2=(1/2)(k^2+1)p=(1/2)*(L/2)=L/4
所以:选择A
抛物线x^2=2py,p>0
则抛物线开口向上,焦点F(0,p/2),准线y=-p/2
直线为:y-p/2=kx,y=kx+p/2
代入抛物线方程有:
x^2=2py=2p(kx+p/2)=2pkx+p^2
x^2-2pkx-p^2=0
根据韦达定理:
x1+x2=2pk
x1*x2=-p^2
点M横坐标x=(x1+x2)/2=pk
AB=L,AB^2=L^2:
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=L^2
(k^2+1)(x1-x2)^2=L^2
(x1+x2)^2-4x1x2=L^2/(k^2+1)=4(pk)^2+4p^2=4(k^2+1)p^2
L^2=4(k^2+1)^2*p^2
所以:L=2(k^2+1)p
x=pk代入x^2=2py得:y=(pk^2)/2
点M纵坐标y=kx+p/2=k*pk+p/2=pk^2+p/2
所以:MN=pk^2+p/2-(pk^2)/2=(1/2)(k^2+1)p=(1/2)*(L/2)=L/4
所以:选择A
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