Question

求证不等式，如图，感谢

Answer 1

这个是闵可夫斯基(Minkowski)不等式.
条件里应该有p > 1, 而x[k], y[k] ≥ 0.

证明使用Holder不等式的如下推论(也可以视为加权幂平均不等式, 或者幂函数凸性):
对p > 1, 以及a, b, x, y ≥ 0, 满足a+b = 1, 有ax+by ≤ (a·x^p+b·y^p)^(1/p).
证明: 取q = p/(p-1), 则q > 1且满足1/p+1/q = 1.
取c = a^(1/q), d = b^(1/q), u = a^(1/p)·x, v = b^(1/p)·y.
则ax+by = cu+dv
≤ (u^p+v^p)^(1/p)·(c^q+d^q)^(1/q)
= (a·x^p+b·y^p)^(1/p)·(a+b)^(1/q)
= (a·x^p+b·y^p)^(1/p).
证毕.
以下使用其变形: (ax+by)^p ≤ a·x^p+b·y^p ①.

原式的证明: 设A = (∑x[k]^p)^(1/p), B = (∑y[k]^p)^(1/p), 不妨设A, B > 0 (A或B得0时显然成立).
所证不等式(∑(x[k]+y[k])^p)^(1/p) ≤ (∑x[k]^p)^(1/p)+(∑y[k]^p)^(1/p) = A+B,
等价于∑(x[k]/(A+B)+y[k]/(A+B))^p ≤ 1.
取a = A/(A+B), b = B/(A+B), u[k] = x[k]/A, v[k] = y[k]/B,
不等式化为∑(a·u[k]+b·v[k])^p ≤ 1.
由a+b = 1, 使用①得(a·u[k]+b·v[k])^p ≤ a·u[k]^p+b·v[k]^p.
对k求和得∑(a·u[k]+b·v[k])^p ≤ a·∑u[k]^p+b·∑v[k]^p
= a·(∑x[k]^p)/A^p+b·(∑y[k]^p)/B^p
= a+b
= 1.
这样就证明了所要的结论.