Question

求函数y=(x²+7x+10)/(x+1)的最小值，(x＞-1)

Answer 1

令t=x+1>0
则x=t-1
y=(x²+x+6x+6+4)/(x+1)=x+6+4/(x+1)=t+5+4/t
由均值不等式，t+4/t>=2√(t*4/t)=4, 当t=4/t时，即t=2时取等号(此时x=1)
所以y的最小值为5+4=9.

追问

=(x²+x+6x+6+4)/(x+1)=x+6+4/(x+1)=t+5+4/t。。有什么公式吗？

追答

前面是多项式的除法。
后面用公式：a²+b²>=2ab , 当a=b时取等号

Answer 2

y=[(x+1)^2+5(x+1)+4]/(x+1)=(x+1)+4/(x+1) +5
∵x>-1 ∴x+1>0,4/(x+1)>0
则(x+1)+4/(x+1)≥2倍根号4=2*2=4
（当且仅当x+1=4/（x+1）时等号成立）
故原式的最小值为4+5=9

Answer 3

该函数可以分解成 x+6+4/(x+1).对其求导得到1-4/((x+1)^2)要求最小值 也就是导数为零的点。所以显然实在x=1处取到。所以最小值是9