Question

叙述致密性定理并用其证明有界性定理:若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]有界。

Answer 1

证明如下：

搞好数学的方法

1、数学跟其他学科一样，也是有很多概念性的东西，学好数学的基础就是明白定义到底说的是什么。

比如数学中的平方，立方，绝对值的含义。我们知道平方就是两个相同的数相乘，当然立方就是三个相同的数相乘，绝对值就是大于或者等于0的数值，明白了定义的真正含义，也就走出了第一步，为后面的学习打下了坚实的基础。

2、数学跟其他学科不同之处就是不需要死记硬背，因为数学不考试问答题，而是计算这是最大的不同。怎么实践呢，具体的说一下。

数学的许多题都是从定义出发的，前面我说过，定义明白了，也就好下手了。比如合并同类项，先想定义，就是同类的项，简单点就是都有的那个东西，明白了定义，然后下手做题，当然就事半功倍了。

3、前面我说过。数学不是背出来的，是用笔杆子算出来的。所以针对一个公式或者一个定义，只有把关于这个问题的题目多做上几道，自然的就运用和真正理解了其中的意义。

数学基础不好怎么办：

 数学在世界范围里都被众多国家作为一门最基本的学科，原因就是它可以培养一个人最基本的逻辑意识及能力。

   数学基础不好最根本的原因就是小孩的逻辑意识及思维没有具备或不足。我们国家现有的数学课本还是很好的：它从最基本的操作（数棒）开始培养这种意识，从加法推出减法，而后是乘法到除法。

在这个过程中一些最基本的逻辑思维或是意志其实就培养起来了。而后的学习基本都是一环接一环推出公式然后练习运用，反过来在证明下一个公式推出的前提。

Answer 2

致密性定理是说，任何有界无穷序列都有收敛子列。下面用反证法证明有界性定理，假设f在[a,b]上无界，则根据无界的定义，存在序列xn属于[a,b]，使得limf(xn)=∞，而序列xn包含在[a,b]内所以是有界的，根据致密性定理，存在xn的子序列xnk，使得lim(xnk)=x0存在，又因为f在x0处连续，故根据连续性的序列定义，有limf(xnk)=f(x0)，这与imf(xn)=∞矛盾（因为f(xn)作为无穷大序列，其任意子列都是无穷大序列，不可能有收敛子列f(xnk)。