Question

设0<a<b.函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f( b)-f(a)=ξf'(ξ)ln

设0<a<b.函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f( b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)

Answer 1

令g(x)=lnx，则g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导
且g'(x)=1/x>0，即g'(x)在(a,b)内每一点处均不为零
由柯西中值定理
[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=f'(ξ)/g'(ξ)
即f(b)-f(a)=ξ*f'(ξ)*ln(b/a)

追问

这只是一个特例，证明不应该是对所有f(x)都成立的吗？

追答

对满足[a,b]上连续,在(a,b)内可导的函数f(x)，上述结论都是成立的
至于为何要构造g(x)，是因为所证结论中出现了ln(b/a)，同时注意到g'(ξ)=1/ξ