Question

已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.设a≠0，函数f(x)在（m,n)上既有最大值也有最小值，

分别求出m,n的取值范围（用a表示）

Answer 1

当x≥a时，f(x)=x²-ax=(x-a/2)²-a²/4;
当x≤a时，f(x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4
因为a≠0;
所以：a>0时，a>a/2>0; f(x)在[a,+∞)上是增函数；在(-∞,a/2]上是增函数；
在[a/2,a]上是减函数；此时，要使f(x)在(m,n)上既有最大值，又有最小值，
则有：a>0,m<a/2<a<n,且f(m)=-m²+am≥f(a)=0; f(n)=n²-an≤f(a/2)=a²/4;
a<0时，a<a/2<0,f(x)在[a,a/2]上是减函数；在[a/2,+∞)上是增函数；
在(-∞,a]上是增函数，此时：f(x)在(m,n)上有最大最小值；
则：m<a<a/2<0<n