Question

定积分的应用旋转体的侧面积

x2/a2+y2/b2=1
(a>b)
求该椭圆绕X轴旋转一周所成的旋转体的侧面积
求答案。应该是换元法吧。。稍微讲些步骤即可

Answer 1

显然我们仅求x轴正半轴（含0点）的侧面积再乘以2即可。
注意到一个y=f(x)在区间(a,b)绕x轴旋转一周侧面积为：
∫sqrt(1+y'^2）*2π*y*dx，其中x从a到b（这个高数教材上有，可以自己看， 要不再发信息问我，下面的也一样，也是教材上的），这里sqrt表示根号，y'表示y的一阶导数。
下面看该题：
正如你所说，先做换元,设x=a*sint,y=b*cost，由于讨论x非负半轴，故取t∈【0，π/2】。故由参数求导方法y'=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=-b*tant/a,
再由还原积分法dx=a*cost*dt 得非负半轴侧面积：
∫sqrt(1+(-b*tant/a)^2)*2π*b*cost*(a*cost)dt，这里t从0积到π/2;
将外面的一个cost乘进根号中，在注意cost*dt=d(sint)，当然做此变换时积分上下限变为【0，1】，则上式化为：
2*π*b∫sqrt(a^2*(cost)^2+b^2*(sint)^2)*d(sint)，积分变量【0,1】
再将cost的平方换为1-sint^2，则原积分式就是如下同等形式（即将sint换为下面的w)：
2πb*∫sqrt(a^2-(a^2-b^2)*w^2)*dw,这里w∈【0，1】；
显然这个是sqrt(a^2-x^2)形式的积分，很容易算（高数书上附录积分表都有，也可以用换元积分法，如果没找着再问我吧）。
最后侧面积(别忘了上面积分结果还要乘2）：
2πb*sqrt(a^2-b^2)*(A^2*arcsin(1/A)+sqrt(A^2-1))，
这里A=sqrt(a/sqrt(a^2-b^2))
算的比较仓促，不知道对不对，呵呵！
另外对于侧面积还有几种积分式：
对于曲线参数方程y=A(t),x=B(t),其中t属于[a,b],则其绕x轴旋转一周侧面积为：
∫2π*A(t)*sqrt(A'(t)^2+B'(t)^2)dt,其中t∈[a,b],
对于极坐标系中的曲线r=r(t)，,其中t为极角，r为向径，t属于[a,b],绕极轴
旋转一周侧面积为：
∫2π*r(t)*sint*sqrt( r(t)^2+r'(t)^2)dt,其中t∈[a,b],